极值原理与比较原理

考虑热传导方程

{ut\laplaceu=0,Ω×(0,+)u(x,0)=φ(x),Ωu(x,t)=h(x,t),Ω×[0,+)

ΩT=Ω×[0,T],定义抛物边界 ΓT=Q¯TQT

极大值原理

假设 uC2,1(QT)C(Q¯T) 满足方程

ut\laplaceu=f<0

u(x,t)Q¯T 上的最大值必在抛物边界 QT 上取到,即

maxQ¯Tu(x,t)=maxQTu(x,t).

以下记算子 \lcalu=ut\laplaceu

证明

M=maxQ¯Tm=maxQT,则

第一步

f<0,若 M>m,设 u(x0,t0)QT 达到最大值 M,则 ut(x0,t0)0\laplaceu(x0,t0)0,从而

f(x0,t0)=ut(x0,t0)\laplaceu(x0,t0)0,

矛盾.

第二步

f0,令 v=uεt,则

\lcalv=\lcaluε=fε<0.

从而由第一步知

maxQ¯TuεTmaxQ¯Tv=maxQTvmaxQTu.

即证.

极小值原理

uC2,1(QT)C(Q¯T) 满足方程

\lcalu=f0

uQ¯T 上的最小值必在抛物边界 QT 上达到,即 minQ¯Tu=minQTu

比较原理

u,vC2,1(QT)C(Q¯T) 满足

\lcalu\lcalv,u|QTv|QT

Q¯Tuv